E alla fine Praga fu :-)
giovedì 11 aprile 2024
Fuitina a Praga
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mercoledì 13 dicembre 2023
Fibonacci, i suoi conigli, e Fidia
Ciao Papa'
l'altro giorno ho (ri)letto la tua incursione nel dominio dei numeri, e ho anche ribattuto i conti. Avevi ragione, la cosa e' estremamente affascinante.
Partiamo dalla successione di Fibonacci:
$$F_0 = 0, F_1 = 1, F_n = F_{n-1} + F_{n-2} $$
Ok ok ... la definizione tradizionale non partiva da 0 ma da 1:
$$F_1 = 1, F_2 = 1, F_n = F_{n-1} + F_{n-2} $$
e tu la preferivi, ma io sono piu' nouvelle vague :-)
La successione e':
$$ F_n = \{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...\} $$
e, come si puo' trovare facilmente ovunque, nasce dai ragionamenti di Leonardo Pisano, detto il Fibonacci, sulla riproduzione dei conigli.
Parliamo ora, invece, del rapporto aureo, ovvero del modo di dividere un segmento in due parti, $a$ e $b$, tali che:
$$ \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a} $$
ovvero che il rapporto tra la parte piu' grande e la parte piu' piccola sia pari al rapporto tra l'intero segmento e la parte piu' grande.
Detto $\varphi$, dall'iniziale di Fidia, tale rapporto, possiamo scrivere:
$$\varphi = \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\varphi} $$
Ovvero:
$$\varphi^2 = \varphi +1 $$
che e' l'equazione algebrica di secondo grado $\varphi^2 - \varphi -1 = 0$ che ammette come soluzione positiva (l'unica che ci interessa):
$$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $$
Iterando la $\varphi^2 = \varphi +1$ e' possibile calcolare le potenze di $\varphi$. Con un po' di calcoli e con una certa meraviglia, si scopre che:
$$\varphi^n = F_n \varphi + F_{n-1} $$
e che
$$\varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2} $$
Un pochino piu' complessa risulta la dimostrazione dell'altrettanto affascinante formula di Binet:
$$F_n = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi )^n}{\sqrt{5}} $$
che, per $n$ grande, si puo' approssimare con:
$$F_n \approx \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}$$
Ultimo punto che vorrei far notare e' che:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi$$
Per tutte le altre cose che si possono dire su questo tema, rimando alla tua incursione!
Pubblicato da Mario alle 23:48 0 commenti
sabato 28 ottobre 2023
Ciao Papà
Ciao papà.
Non
è sempre stato facile starti vicino. Avevi un caratteraccio. Quando
volevi, riuscivi ad essere indisponente e insopportabile come nessun
altro che conosco.
Però molto di quello che sono come uomo, come
marito, come padre, come uomo di scienza e come ingegnere, e sono molto
orgoglioso di quello che sono, lo devo a te. Così è merito tuo anche
molto di quello che è Elena come donna, come sorella, come scienziata e come medico, e che medico!
Buon viaggio, papà, ovunque tu stia andando.
PS:
I funerali, per chi avesse voglia di partecipare, si terranno domani,
Lunedi 30, alle 15:00, presso la chiesa di Santa Melania, all'AXA.
Per
citare, questa volta a proposito, una frase che gli è sempre stata
cara, "non fiori ma opere di bene", abbiamo aperto una raccolta fondi a
suo nome su Emergency (https://insieme.emergency.it/participant/vincenzo-benincasa)
Oppure potete fare una donazione alla ONLUS Bianco Airone (https://biancoairone.it/) che si prende cura dei pazienti onco-ematologici.
Pubblicato da Mario alle 22:00 0 commenti