Fibonacci, i suoi conigli, e Fidia

Ciao Papa'

l'altro giorno ho (ri)letto la tua incursione nel dominio dei numeri, e ho anche ribattuto i conti. L'ho anche poi trasposta sul web (https://sph3ra.science/numeri/).
Avevi ragione, la cosa e' estremamente affascinante. 

Partiamo dalla successione di Fibonacci:

$$F_0 = 0,  F_1 = 1, F_n = F_{n-1} + F_{n-2} $$

Ok ok ... la definizione tradizionale non partiva da $0$ ma da $1$:

$$F_1 = 1,  F_2 = 1, F_n = F_{n-1} + F_{n-2} $$

 e tu la preferivi, ma io sono piu' nouvelle vague :-) 

La successione e':

$$ F_n = \{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...\} $$

e, come si puo' trovare facilmente ovunque, nasce dai ragionamenti di Leonardo Pisano, detto il Fibonacci, sulla riproduzione dei conigli. 

Parliamo ora, invece, del rapporto aureo, ovvero del modo di dividere un segmento in due parti, $a$ e $b$, tali che:

$$ \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a} $$

ovvero che il rapporto tra la parte piu' grande e la parte piu' piccola sia pari al rapporto tra l'intero segmento e la parte piu' grande.

Detto $\varphi$, dall'iniziale di Fidia, tale rapporto, possiamo scrivere:

$$\varphi = \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\varphi} $$

Ovvero:

$$\varphi^2 = \varphi +1 $$

che e' l'equazione algebrica di secondo grado  $\varphi^2 - \varphi -1 = 0$ che ammette come soluzione positiva (l'unica che ci interessa):

$$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $$

Iterando la $\varphi^2 = \varphi +1$ e' possibile calcolare le potenze di $\varphi$. Con un po' di calcoli e con una certa meraviglia, si scopre che:

$$\varphi^n = F_n \varphi + F_{n-1} $$

 e che 

$$\varphi^n =  \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2} $$

Un pochino piu' complessa risulta la dimostrazione dell'altrettanto affascinante formula di Binet:

$$F_n = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi )^n}{\sqrt{5}} $$

che, per $n$ grande, si puo' approssimare con:

$$F_n \approx \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}$$

Ultimo punto che vorrei far notare e' che:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi$$

Per tutte le altre cose che si possono dire su questo tema, rimando alla tua incursione!




Ciao Papà

  

Ciao papà.
Non è sempre stato facile starti vicino. Avevi un caratteraccio. Quando volevi, riuscivi ad essere indisponente e insopportabile come nessun altro che conosco.
Però molto di quello che sono come uomo, come marito, come padre, come uomo di scienza e come ingegnere, e sono molto orgoglioso di quello che sono, lo devo a te. Così è merito tuo anche molto di quello che è Elena come donna, come sorella, come scienziata e come medico, e che medico!
Buon viaggio, papà, ovunque tu stia andando.

PS: I funerali, per chi avesse voglia di partecipare, si terranno domani, Lunedi 30, alle 15:00, presso la chiesa di Santa Melania, all'AXA.
Per citare, questa volta a proposito, una frase che gli è sempre stata cara, "non fiori ma opere di bene", abbiamo aperto una raccolta fondi a suo nome su Emergency (https://insieme.emergency.it/participant/vincenzo-benincasa)
Oppure potete fare una donazione alla ONLUS Bianco Airone (https://biancoairone.it/) che si prende cura dei pazienti onco-ematologici.