Ciao Papa'
l'altro giorno ho (ri)letto la tua incursione nel dominio dei numeri, e ho anche ribattuto i conti. L'ho anche poi trasposta sul web (https://sph3ra.science/numeri/).
Avevi ragione, la cosa e' estremamente affascinante.
Partiamo dalla successione di Fibonacci:
$$F_0 = 0, F_1 = 1, F_n = F_{n-1} + F_{n-2} $$
Ok ok ... la definizione tradizionale non partiva da $0$ ma da $1$:
$$F_1 = 1, F_2 = 1, F_n = F_{n-1} + F_{n-2} $$
e tu la preferivi, ma io sono piu' nouvelle vague :-)
La successione e':
$$ F_n = \{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...\} $$
e, come si puo' trovare facilmente ovunque, nasce dai ragionamenti di Leonardo Pisano, detto il Fibonacci, sulla riproduzione dei conigli.
Parliamo ora, invece, del rapporto aureo, ovvero del modo di dividere un segmento in due parti, $a$ e $b$, tali che:
$$ \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a} $$
ovvero che il rapporto tra la parte piu' grande e la parte piu' piccola sia pari al rapporto tra l'intero segmento e la parte piu' grande.
Detto $\varphi$, dall'iniziale di Fidia, tale rapporto, possiamo scrivere:
$$\varphi = \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\varphi} $$
Ovvero:
$$\varphi^2 = \varphi +1 $$
che e' l'equazione algebrica di secondo grado $\varphi^2 - \varphi -1 = 0$ che ammette come soluzione positiva (l'unica che ci interessa):
$$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $$
Iterando la $\varphi^2 = \varphi +1$ e' possibile calcolare le potenze di $\varphi$. Con un po' di calcoli e con una certa meraviglia, si scopre che:
$$\varphi^n = F_n \varphi + F_{n-1} $$
e che
$$\varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2} $$
Un pochino piu' complessa risulta la dimostrazione dell'altrettanto affascinante formula di Binet:
$$F_n = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi )^n}{\sqrt{5}} $$
che, per $n$ grande, si puo' approssimare con:
$$F_n \approx \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}$$
Ultimo punto che vorrei far notare e' che:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi$$
Per tutte le altre cose che si possono dire su questo tema, rimando alla tua incursione!
