Facendo seguito al precedente post sul tema, passiamo ora dal piano allo spazio tridimensionale. Analizziamo solo le coordinate polari sferiche e tralasciamo il caso delle coordinate cilindriche, che appare decisamente semplice.
Ho trovato questa figura su internet (non ricordo dove, chiedo scusa all'autore originale) e la mantengo, ma provvisoriamente: io ho scelto gli angoli $\varphi$ e $\theta$, e quindi i versori $\hat{\varphi}$ e $\hat{\theta}$ al contrario di come li ha scelti l'autore di questa figura.
Ovviamente spesso le cose provvisorie ... diventano di fatto definitive :-) (non ho mai capito se dobbiamo parlare di cose siano definitivamente provvisorie oppure di cose provvisoriamente definitive :-)).
In ogni caso, il cambio di coordinate è:
$$
\begin{cases}
x = r \sin \theta \cos\varphi \\
y = r\sin \theta \sin \varphi \\
z = r\cos \theta
\end{cases}
$$
e i tre versori delle coordinate sferiche hanno le seguenti espressioni:
$$
\hat{r}= \begin{pmatrix}
\sin \theta \cos\varphi \\
\sin \theta \sin \varphi \\
\cos \theta
\end{pmatrix}
\quad
\hat \varphi = \begin{pmatrix}
-\sin \varphi \\
\cos \varphi \\
0
\end{pmatrix}
\quad
\hat \theta = \begin{pmatrix}
\cos\theta \cos\varphi \\
\cos \theta \sin \varphi \\
- \sin \theta
\end{pmatrix}
$$
Le componenti, rispetto alla coordinate cartesiani ortogonali, dei versori si chiamano "coseni direttori".
Come nel caso bidimensionale, la prima cosa che occorre fare è calcolare le derivate temporali dei versori:
$$ \frac{d \hat{r}}{dt} = \dot{\theta} \hat{\theta} + \dot{\varphi}\sin\theta \hat{\varphi}$$
$$ \frac{d \hat{\varphi}}{dt} = - \dot{\varphi} \left( \sin\theta \hat{r} + \cos\theta \hat{\theta} \right) $$
$$ \frac{d \hat{\theta}}{dt} = - \dot{\theta} \hat{r} +\dot{\varphi} \cos\theta \hat{r} $$
Risparmio i calcoli, ma, per chi li vuole fare, sono semplici applicazioni delle elementari regole di derivazione. Da queste ultime relazioni, possiamo quindi calcolare velocità e accelerazione:
$$ \vec{r } = r \hat{r} $$
$$ \frac {d \vec{r }}{dt} = \dot{r} \hat{r} + r \dot{\varphi}\hat{\varphi} + r \dot{\theta}\hat{\theta} $$
$$
\begin{split}
\frac {d^2 \vec{r }}{dt^2} & = \hat{r} \left( \ddot{r} -r {\dot{\theta}}^2 - r {\dot{\varphi}}^2 \sin^2 \theta \right) + \\
& + \hat{\varphi} \left( 2\dot{r}\dot{\varphi}\sin\theta + 2r\dot{\varphi}\dot{\theta}\cos\theta + r \ddot{\varphi} \sin\theta
\right) + \\
& + \hat{\theta} \left( 2\dot{r}\dot{\theta} + r \ddot{\theta} - r {\dot{\varphi}}^2 \sin\theta\cos\theta \right)
\end{split}
$$
Di nuovo, risparmio i calcoli, che sono semplicemente un po' macchinosi.
Sempre ammesso che non ne abbia sbagliati ;-)
