Velocità e accelerazione in coordinate polari

Ohibò! 

Non avevo memoria di questo, ma sicuramente devo averlo incontrato, magari 40 anni fa, ma devo averlo incontrato 😊.

In ogni caso, si tratta di esprimere i vettori velocità e accelerazione in coordinate polari $\left( r, \varphi \right)$, proiettati però lungo i versori associati alle coordinate polari: $\hat{r}$ e $\hat{\varphi}$, che ovviamente cambiano in funzione del punto:

Quindi, ogni punto della traiettoria del moto della nostra particella puntiforme, ha i suoi versori polari:

$$ \hat{r} =\binom {\cos{\varphi}} {\sin{\varphi}} \quad \text{e} \quad  \hat{\varphi} =\binom {- \sin{\varphi}} {\cos{\varphi}}$$

Stiamo partendo, ovviamente, dal moto in due dimensioni, proveremo poi a estenderci alle tre dimensioni, sia in coordinate cilindriche che sferiche.

Possiamo scrivere la posizione di un punto sia in coordinate cartesiane che polari:

$$ \vec{r} = x \hat{x} + y \hat{y} = r \hat{r}$$

Dove con $ \hat{x}$ e $\hat{y}$ indichiamo, ovviamente, i versori cartesiani lungo gli assi $x$ e $y$, spesso indicati in letteratura come $\textbf{i}$ e $\textbf{j}$.

Cominciamo con il vettore velocità: deriviamo il vettore posizione rispetto al tempo, ma quando lo facciamo in coordinate polari, dobbiamo tener presente che anche i versori cambiano:

$$ \vec{v} = \frac{d \vec{r}}{dt} = \dot{x}\hat{x} + \dot{y} \hat{y} = \dot{r} \hat{r} + r  \frac{d \hat{r}}{dt} \label{velocity}\tag{1} $$

Infatti la velocità della nostra particella avrà una componente radiale ed una tangenziale, che potremmo  scrivere così:

$$ \vec{v} = \vec{v}_r + \vec{v}_{\varphi} $$

Calcoliamo ora le derivate temporali dei versori: 

$$ \frac{d \hat{r}}{dt} = \binom {- \dot{\varphi}\sin{\varphi}} {\dot{\varphi}\cos{\varphi}} = \dot{\varphi} \hat{\varphi} \label{versor1}\tag{2a}$$

$$ \frac{d \hat{\varphi}}{dt} = \binom {- \dot{\varphi}\cos{\varphi}} {-\dot{\varphi}\sin{\varphi}} =  - \dot{\varphi} \hat{r} \label{versor2}\tag{2b} $$ 

Andando a sostituire nella $\ref{velocity}$, abbiamo:

$$ \vec{v} = \frac{d \vec{r}}{dt} = \dot{r} \hat{r} + r  \frac{d \hat{r}}{dt} = \dot{r} \hat{r} + r \dot{\varphi}\hat{\varphi} $$

Andando a derivare ancora, sempre tenendo presente $\ref{versor1}$  e $\ref{versor2}$, ovvero che $  \frac{d \hat{r}}{dt}= \dot{\varphi} \hat{\varphi}$ e che $ \frac{d \hat{\varphi}}{dt} = - \dot{\varphi} \hat{r}$, abbiamo il vettore accelerazione:

$$ \vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt} = \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}= \ddot{r}\hat{r} + \dot{r}\dot{\varphi}\hat{\varphi} + \dot{r}\dot{\varphi}\hat{\varphi}+ r \ddot{\varphi}\hat{\varphi} - r {\dot{\varphi}}^2\hat{r} $$

Ovvero:

$$ \vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt} = \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}= \left( \ddot{r} - r {\dot{\varphi}}^2 \right) \hat{r} + \left( 2 \dot{r}\dot{\varphi} + r \ddot{\varphi} \right) \hat{\varphi}$$