Velocità e accelerazione in coordinate polari

Ohibò! 

Non avevo memoria di questo, ma sicuramente devo averlo incontrato, magari 40 anni fa, ma devo averlo incontrato 😊.

In ogni caso, si tratta di esprimere i vettori velocità e accelerazione in coordinate polari $(r,\phi )$, proiettati però lungo i versori associati alle coordinate polari: $\hat{r}$ e $\hat{\phi }$, che ovviamente cambiano in funzione del punto:

Quindi, ogni punto della traiettoria del moto della nostra particella puntiforme, ha i suoi versori polari:

$$\hat{r}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\cos \phi }{\sin \phi })\text{e}\hat{\phi }=(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\sin \phi }{\cos \phi })$$

Stiamo partendo, ovviamente, dal moto in due dimensioni, proveremo poi a estenderci alle tre dimensioni, sia in coordinate cilindriche che sferiche.

Possiamo scrivere la posizione di un punto sia in coordinate cartesiane che polari:

$$\overrightarrow{r}=x\hat{x}+y\hat{y}=r\hat{r}$$

Dove con $\hat{x}$ e $\hat{y}$ indichiamo, ovviamente, i versori cartesiani lungo gli assi $x$ e $y$, spesso indicati in letteratura come $\mathbf{\text{i}}$ e $\mathbf{\text{j}}$.

Cominciamo con il vettore velocità: deriviamo il vettore posizione rispetto al tempo, ma quando lo facciamo in coordinate polari, dobbiamo tener presente che anche i versori cambiano:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\dot{x}\hat{x}+\dot{y}\hat{y}=\dot{r}\hat{r}+r\frac{d\hat{r}}{dt}\end{array}$$

Infatti la velocità della nostra particella avrà una componente radiale ed una tangenziale, che potremmo  scrivere così:

$$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_r+{\overrightarrow{v}}_{\phi }$$

Calcoliamo ora le derivate temporali dei versori: 

$$\begin{array}{}\text{(2a)}& \frac{d\hat{r}}{dt}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\dot{\phi }\sin \phi }{\dot{\phi }\cos \phi })=\dot{\phi }\hat{\phi }\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2b)}& \frac{d\hat{\phi }}{dt}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\dot{\phi }\cos \phi }{-\dot{\phi }\sin \phi })=-\dot{\phi }\hat{r}\end{array}$$ 

Andando a sostituire nella $\text{1}$, abbiamo:

$$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\dot{r}\hat{r}+r\frac{d\hat{r}}{dt}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\phi }\hat{\phi }$$

Andando a derivare ancora, sempre tenendo presente $\text{2a}$  e $\text{2b}$, ovvero che $\frac{d\hat{r}}{dt}=\dot{\phi }\hat{\phi }$ e che $\frac{d\hat{\phi }}{dt}=-\dot{\phi }\hat{r}$, abbiamo il vettore accelerazione:

$$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}=\ddot{r}\hat{r}+\dot{r}\dot{\phi }\hat{\phi }+\dot{r}\dot{\phi }\hat{\phi }+r\ddot{\phi }\hat{\phi }-r{\dot{\phi }}^2\hat{r}$$

Ovvero:

$$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}=(\ddot{r}-r{\dot{\phi }}^2)\hat{r}+(2\dot{r}\dot{\phi }+r\ddot{\phi })\hat{\phi }$$