Velocità e accelerazione in coordinate sferiche

Facendo seguito al precedente post sul tema, passiamo ora dal piano allo spazio tridimensionale. Analizziamo solo le coordinate polari sferiche e tralasciamo il caso delle coordinate cilindriche, che appare decisamente semplice.

Ho trovato questa figura su internet (non ricordo dove, chiedo scusa all'autore originale) e la mantengo, ma provvisoriamente: io ho scelto gli angoli $\phi$ e $\theta$,  e quindi i versori $\hat{\phi }$ e  $\hat{\theta }$ al contrario di come li ha scelti l'autore di questa figura. 

Ovviamente spesso le cose provvisorie ... diventano di fatto definitive :-) (non ho mai capito se dobbiamo parlare di cose siano definitivamente provvisorie oppure di cose provvisoriamente definitive :-)).

In ogni caso, il cambio di coordinate è:

$$\{\begin{array}{l}x=r\sin \theta \cos \phi \\ y=r\sin \theta \sin \phi \\ z=r\cos \theta \end{array}$$

e i tre versori delle coordinate sferiche hanno le seguenti espressioni: 

$$\hat{r}=\left(\begin{array}{c}\sin \theta \cos \phi \\ \sin \theta \sin \phi \\ \cos \theta \end{array}\right)\hat{\phi }=\left(\begin{array}{c}-\sin \phi \\ \cos \phi \\ 0\end{array}\right)\hat{\theta }=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \cos \phi \\ \cos \theta \sin \phi \\ -\sin \theta \end{array}\right)$$

Le componenti, rispetto alla coordinate cartesiani ortogonali, dei versori si chiamano "coseni direttori".

Come nel caso bidimensionale, la prima cosa che occorre fare è calcolare le derivate temporali dei versori:

$$\frac{d\hat{r}}{dt}=\dot{\theta }\hat{\theta }+\dot{\phi }\sin \theta \hat{\phi }$$

$$\frac{d\hat{\phi }}{dt}=-\dot{\phi }(\sin \theta \hat{r}+\cos \theta \hat{\theta })$$

$$\frac{d\hat{\theta }}{dt}=-\dot{\theta }\hat{r}+\dot{\phi }\cos \theta \hat{r}$$

Risparmio i calcoli, ma, per chi li vuole fare, sono semplici applicazioni delle elementari regole di derivazione. Da queste ultime relazioni, possiamo quindi calcolare velocità e accelerazione:

$$\overrightarrow{r}=r\hat{r}$$

$$\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\phi }\hat{\phi }+r\dot{\theta }\hat{\theta }$$

$$\begin{array}{rl}\frac{d^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}& =\hat{r}(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2-r{\dot{\phi }}^2{\sin }^2\theta )+\\ & +\hat{\phi }(2\dot{r}\dot{\phi }\sin \theta +2r\dot{\phi }\dot{\theta }\cos \theta +r\ddot{\phi }\sin \theta )+\\ & +\hat{\theta }(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta }-r{\dot{\phi }}^2\sin \theta \cos \theta )\end{array}$$

Di nuovo, risparmio i calcoli, che sono semplicemente un po' macchinosi.
Sempre ammesso che non ne abbia sbagliati ;-)