Velocità e accelerazione in coordinate sferiche

Facendo seguito al precedente post sul tema, passiamo ora dal piano allo spazio tridimensionale. Analizziamo solo le coordinate polari sferiche e tralasciamo il caso delle coordinate cilindriche, che appare decisamente semplice.

 Ho creato questa figura con uno script in python (con matplotlib) che mi ha creato Claude ... In ogni caso, secondo la mia convenzione preferita, $\varphi$ e' l'angolo azimutale e $\vartheta$ e' l'angolo polare. I versori delle tre coordinate polari sono, ovviamente, $\hat{r}$,  $\hat{\varphi}$ e  $\hat{\vartheta}$.

Il cambio di coordinate è quindi:

$$
\begin{cases}
x = r \sin \vartheta \cos\varphi \\
y = r\sin \vartheta \sin \varphi \\
z = r\cos \vartheta
\end{cases}
$$

e i tre versori delle coordinate sferiche hanno le seguenti espressioni: 

$$
\hat{r}= \begin{pmatrix}
\sin \vartheta \cos\varphi \\
\sin \vartheta \sin \varphi \\
\cos \vartheta
\end{pmatrix}
\quad
\hat \varphi = \begin{pmatrix}
-\sin \varphi \\
\cos \varphi \\
0
\end{pmatrix}
\quad
\hat \vartheta = \begin{pmatrix}
\cos\vartheta \cos\varphi \\
\cos \vartheta \sin \varphi \\
- \sin \vartheta
\end{pmatrix}
$$

Le componenti, rispetto alla coordinate cartesiani ortogonali, dei versori si chiamano "coseni direttori".

Come nel caso bidimensionale, la prima cosa che occorre fare è calcolare le derivate temporali dei versori:

$$ \frac{d \hat{r}}{dt} = \dot{\vartheta} \hat{\vartheta} + \dot{\varphi}\sin\vartheta \hat{\varphi}$$

$$ \frac{d \hat{\varphi}}{dt} = - \dot{\varphi} \left( \sin\vartheta \hat{r} + \cos\vartheta \hat{\vartheta} \right) $$

$$ \frac{d \hat{\vartheta}}{dt} = - \dot{\vartheta} \hat{r} +\dot{\varphi} \cos\vartheta \hat{r} $$

Risparmio i calcoli, ma, per chi li vuole fare, sono semplici applicazioni delle elementari regole di derivazione. Da queste ultime relazioni, possiamo quindi calcolare velocità e accelerazione:

$$ \vec{r } = r \hat{r} $$

$$ \frac {d \vec{r }}{dt} = \dot{r} \hat{r} + r \dot{\varphi}\hat{\varphi} + r \dot{\vartheta}\hat{\vartheta} $$

$$
\begin{split}
\frac {d^2 \vec{r }}{dt^2} & =  \hat{r} \left( \ddot{r} -r {\dot{\vartheta}}^2 - r {\dot{\varphi}}^2 \sin^2 \vartheta \right) +  \\
& + \hat{\varphi} \left( 2\dot{r}\dot{\varphi}\sin\vartheta + 2r\dot{\varphi}\dot{\vartheta}\cos\vartheta + r \ddot{\varphi} \sin\vartheta
 \right) + \\
& + \hat{\vartheta} \left( 2\dot{r}\dot{\vartheta}  + r \ddot{\vartheta} - r {\dot{\varphi}}^2 \sin\vartheta\cos\vartheta \right)
\end{split}
$$

Di nuovo, risparmio i calcoli, che sono semplicemente un po' macchinosi.
Sempre ammesso che non ne abbia sbagliati ;-)